Dynamic optimization of branching diffusion processes : Stochastic Control’s lens on particle systems and their scaling limits
Optimisation dynamique des processus de ramification : le point de vue du contrôle stochastique sur les systèmes de particules et leurs limites d’échelle
Résumé
The goal of this thesis is to uncover interesting structures occurring in the intersection of three distinct fields: stochastic control theory, branching diffusion processes, and McKean-Vlasov dynamics. In the ini- tial phase, we investigate potential extensions of the stochastic target problem and the optimal stopping problem within the context of branching processes. By constraining our examination to cost functions that respect the inherent symmetry of the problem, we show how the optimization of a global crite- rion can be recast as finite-dimensional optimization challenges through the utilization of a branching property. This finding paves the way to a differential characterization. Using a dynamic programming approach, we prove the value function is the unique viscosity solution to an HJB equation.The second part of this work delves into the theory of controlled branching diffusion processes, under a symmetrical structure in the cost function with respect to particle labeling. Exploring a relaxed formulation, we rewrite the control problem as the minimization of a lower semicontinuous function within a compact domain. This formulation, therefore, provides theoretical guarantees regarding the existence of a globally optimal solution. This abstract setting paves the way to scaling limits for these processes, leading to the class of controlled superprocesses. Within this dynamical framework, we establish an HJB equation in the space of finite measures. Moreover, for specific cost functions, we go back to the initial approach, retrieving regular solutions for the control problem through a branching property and finite-dimensional optimization.
Cette thèse se trouve à l'intersection de trois sujets différents : la théorie du contrôle stochastique, les processus de diffusion branchants et la dynamique de McKean-Vlasov. Initialement, nous étudions les extensions du problème de la cible stochastique et du problème de l'arrêt optimal pour des processus de branchement. Pour des fonctions de coût qui respectent la symétrie inhérente au problème, nous montrons comment l'optimisation d'un critère global peut être transformée en un problème à dimension finie grâce à l'utilisation d'une propriété de branchement. Cette constatation ouvre la voie à une caractérisation différentielle. En utilisant une approche de programmation dynamique, nous prouvons que la fonction de valeur est l'unique solution de viscosité d'une équation de HJB.La deuxième partie de ce travail approfondit la théorie des processus branchants contrôlés, sous une structure symétrique de la fonction de coût par rapport à l'étiquette des particules. En explorant une formulation relâchée, nous réécrivons le problème de contrôle comme la minimisation d'une fonction semi- continue inférieurement à l'intérieur d'un compact. Ce point de vue fournit donc des garanties théoriques quant à l'existence d'une solution optimale. Ce cadre abstrait ouvre la voie à des limites d'échelle pour ces processus, conduisant à la classe des superprocessus contrôlés. Nous établissons ainsi une équation de HJB dans l'espace des mesures finies. De plus, pour des fonctions de coût de type exponentiel, nous revenons à l'approche initiale, retrouvant des solutions régulières pour le problème de contrôle grâce à une propriété de branchement et à une optimisation en dimension finie.
Origine : Version validée par le jury (STAR)